Գետի հոսանքի ուղղությամբ շոգենավն անցավ 80կմ և անմիջապես վերադարձավ՝ անմողջ ուղեվորության վրա ծախսելով 9 ժամ: Նավակի սեփական արագությունը 18կմ/ժ է:

Գետի հոսանքի արագությունը — x

(18+x)5 = (18-x)4

90+5x = 72+4x

5x+4x = 90-72

9x = 18

x = 2

164. ա) sin2α — cos2α + 1 / sin2α = sin2α — cos2α + sin2α + cos2α / sin2α = 2sin2α/sin2α = 2

բ) cos4α — sin4α / sin2α — cos2α = (cos2α — sin2α)(cos2α + sin2α) / sin2α — cos2α = cos2α — sin2α / sin2α — cos2α = -(cos2α — sin2α) / cos2α — sin2α = -1

գ) (cosα — sinα)2 — 2sinαcosα = cos2α +2sinαcosα + sin2α — 2sinαcosα = cos2α + sin2α = 1

դ) sin4α — cos4α + 2sin2αcos2α = (sin2α + cos2α)2 = 1^2 = 1

165. ա) 1/tg2α + 1/ctg2α = 1 / 1/cos2α + 1 / 1/sin2α = cos2α + sin2α = 1

բ) 1/tgα + 1/ctgα — 1/sinαcosα = ctgα + tgα — 1/sinαcosα = cosα/sinα + sinα/cosα — 1/sinαcosα = cos2α + sin2α — 1 / sinαcosα = 0

166. ա) (sinβ — cosβ)2 + (sinβ + cosβ)2 = 2

sin2β — 2sinβcosβ + cos2β + sin2β + 2sinβcosβ + cos2β = 2(sin2β + cos2β) = 2

բ) (tgα + ctgα)2 — (tgα — ctgα)2 = 4

(tgα + ctgα)2 — (tgα — ctgα)2 = tg2α + 2tgαctgα + ctg2α — tg2α + 2tgαctgα — ctg2α = 4tgαctgα = 4

գ) tg2x — 1 / tg2x + 1 +cos2x = sin2x

tg2x — 1 / tg2x + 1 + cos2x = tg2x — 1 + cos2x * (sin2x/cos2x + 1) / tg2x + 1 = tg2x — 1 + sin2x + cos2x / tg2x + 1 = tg2x/tg2x + 1 = sin2x / cos2x * 1/cos2x = sin2x

162. ա) sinα — sin³α / cosα — cos³α = sinα (1 — sin²α) / cosα (1 — cos²α) = sinα * cos²α / cosα * sin²α = cosα/sinα = ctgα

բ) sin³α — sin⁵α / cos³α — cos⁵α = sin3α (1 — sin2α) / cos3α (1 — cos2α) = sin3α * cos2α / cos3α — sin2α = sinα / cosα = tgα

գ) tgα ctgα — cos2α / sinα = tgα * 1/tgα -cos2α / sinα = 1 — cos2α / sinα = sin2α / sinα = sinα

դ) 1 — cos2α / 1 — sin2α + tgα ctgα = sin2α / cos2α + tgα * 1/tgα = sin2α/cos2α + 1/1 = sin2α/cos2α + cos2α/cos2α = sin2α + cos2α / cos2α = 1/cos2α

1․ Պատ․՝ 12

11. Պատ․՝ 11

20. Պատ․՝ 3

21․ Պատ․՝ 24

31․ Պատ․՝ 4

40․ Պատ․՝ 6

41. Պատ․՝ 40

53. x/9 = 7,5
x = 68

Պատ․՝ 68

63. Պատ,՝ 4

71. Պատ․՝ 0

73. Պատ․՝ -16

283. ա) {x² = y  = > x² = 4 = > x = 2
     {y — 2 = 2 = > y = 2  = > x = -2

բ) {y² — 1 = x  = >  y² — 1 = 24 = > y² = 25 = > y = 5
 {x — 13 = 11  = > x = 24   = > x = 24 = > y = -5

գ) {x — 3 = 2 = > x = 5   = > x = 5 = > y = 3
 {y² — x = 4 = > y² — 5 = 4 = > y² = 9 = > y = -3

դ) {x² — y — 4 = 0 = > x² — 5 — 4 = 0 = > x² = 3 = > x = 3
  {y — 4 = 1   = > y = 5    = > y = 5 = > x = -3

ե) {x = 2 + y = > x = 2 + y    = > x = 2 + (-4) = > x = -2
  {x² — y = 8 = > (2 + y)² — y = 8 = > x = 2 + 1   = > x = 3

զ) {x² = y  = > x2 = y    = > x2 = y        = > x2 = y        = >
 {5x — y = 6 = > x² — 5x + 6 = 0 = > x * (x — 2) — 3x + 6 = 0  = > x * (x — 2) — 3(x — 2) = 0 = >

= > x2 = y      = > x — 2 = 0 = > x = 2
= > (x — 2) * (x — 3) = 0 = > x — 3 = 0 = > x = 3

tgα = sinα/cosα
cos²α+sin²α = 1
tgα * ctgα = 1

sin²α + cos²α = 1
1 + tg²α = 1/cos²α
1 + ctg²α = 1/sin²α

Վ. 139

ա) α = 85^o
α = ?

α = I ք.

բ) α = 185^o
α = ?

α — III ք.

Վ. 161

ա) 1 — cos²α

cos²α + sin²α = 1

1 — cos²α = sin²α

բ) 1/cos²α — 1 = 1/cos²α — 1/1 = 1-cos²α / cos²α = sin²α/cos²α = tg²α

գ) tgα * ctgα + ctg²α

ctgα = 1/tgα

tgα/1 * 1/tgα + ctg²α = 1 + ctg²α = 1/sin²α

դ) tgβ * ctgβ + tg²β

ctgβ = 1/tgβ

tgβ * 1/tgβ = 1 + tg²β = 1/cos²β

Վ. 61

ա) (5^√3) = 5³ = 125

բ) ((√2)^√2)^√2 = (√2)² = 2

գ) ((√3)^√2)^√2 = (√3)^-2 = 3^-1 = 1/3

դ) ((√5)^-√2)^√8 = (√5)^-√16 = (√5)^_-√42 = (√5)^-√4 = 5^-2 = 1/25

ե) ((√7)^-√8)^-√2 = (√7)^√16 = √7⁴ = 7² = 49

զ) ((∛2)^-√3)^-√27 = (∛2)^√81 = ∛2⁹ = 2³ = 8

Վ. 62

ա) x^√3+1 * (1/x)^√3 = x^√3+1 * x^-√3 = x
√3 + 1 -√3 = 1

ա) x^1/4 * x^3/10

1/4 + 3/10 = 5+6 / 20 = 11/20

x^1/4 * x^3/10 = x^11/20

բ) a^-3/8 : a^1/4

-3/8 — 1/4 = -3-2 / 8 = -5/8

a^-3/8 : a^1/4 = a^-5/8

գ) (y^3/8)^4/3

3/8 * 4/3 = 12/24 = 1/2

(y^3/8)^4/3 = y^1/2

դ) (x^2/3)^0,6 * x^2/5 = (x^2/3)^6/10 * x^2/5

2/3 * 6/10 = 12/30 = 4/10 = 2/5

2/5 + 2/5 = 4/5

(x^2/3)^0,6 * x^2/5 = x^4/5

ե) (a^-5/8)^0,4 * a^0,25 = (a^-5/8)^4/10 * a^25/100

-5/8 * 4/10 = -20/80 = -2/8 = -4

-4/1 + 25/100 = -400+25 / 100 = -375/100 = -15/4

(a^-5/8)^0,4 * a^0,25 = a^-15/4

զ) (b^1/2)^-0,5 * (b^1/4)^-2/3 = (b^1/2)^-1/2 * (b^1/4)^-2/3

1/2 * (-1/2) = -1/4

1/4 * (-2/3) = -2/12 = -1/6

-1/4 + (-1/6) = -3-2 / 12 = -5/12

(b^1/2)^-0,5 * (b^1/4)^-2/3 = b^-5/12

է) (d^0,3)^3/2 * (d^-2/5)^0,4 = (d^3/10)^3/2 * (d^-2/5)^4/10

3/10 * 3/2 = 9/20

-2/5 * 4/10 = -8/50 = -4/25

9/20 + (-4/25) = 45-16 / 100 = 29/100

(d^0,3)^3/2 * (d^-2/5)^0,4 = d^29/100

ը) (u^1/2 + 2v^1/2)² = (√u + 2√v)² = u + 4√uv + 4v

Բնական թիվ — N
Ամբողջ թիվ — Z
Ռացիոնալ թիվ — Q

5. ա) 3 * 10³ + 2 * 10² + 1 * 10 = 3210

բ) 7 * 10⁴ + 4 * 10² + 5 * 10 + 9 = 70459

գ) 8 * 10³ + 2 * 10³ + 6 = 802006

դ) 5 * 10⁶ + 7 * 10⁴ + 2 * 10³ + 5 = 5072005

6. ա) 34,251 = 34 + 0,251

բ) 45 = 24 + 21

գ) -12, 3 = 11,6 + (-0,7)

դ) -80,45 = (-80) — 0,45

7. ա) 45/4 = 11,25

բ) 37/40 = 0,925

գ) 127/25 = 5,08

դ) 99/50 = 1,98

8. ա) 1,25 = 125/100 = 5/4

բ) 2,256 = 2256/1000 = 282/125

գ) 0,016 = 16/1000 = 2/125

դ) 3,625 = 3625/1000 = 29/8