գ) 3log₆3 + log₆8 = log₆3³ + log₆8 = log₆27 + log₆8 = log₆216 = 3

ա) log₉15 + log₉18 — log₉10
log₉15 + log₉18 = log₉15*18 = log₉270
log₉270 — log₉10 = log₉270/10 = log₉27
log₉27 = log_3²3³ = 1/2 * 3 * log₃3 = 1 * 1/2 * 3 = 3/2

դ) 2log_1/56 — 1/2log_1/5400 — 4log_1/5⁴√45
log_1/56² — log_1/5400^1/2 — log_1/5⁴√45⁴
1/2 = √400
log_1/536 — log_1/520 — log_1/545
log_1/536/20 = log_1/59/5
log_1/59/5 — log_1/545 = log_1/59/5 : 45 = log_1/51/25 = log_1/5²

Թեմա՝ լոգարիթմական ֆունկցիա

բանաձև՝
а^x = b
x = log_a^b
a > 0 b > 0
a=/ 1

55. ա) log₃81
x = log₃81 = 4

բ) log₂16
x = log₂16 = 4

գ) log_0,11000
log_1/101000 = -3

դ) lg0,001
10^-3 = 0,001

56. ա) log₂⁵√4 = x
2^x = ⁵√4
2^x = 4^1/5
2^x = (2²)1/5
2^x = 2^2/5
x = 2/5

բ) lg100/√10 = x
10^x = 100/√10
10^x = 10²/10^1/2
10^x = 10^{2 — 1/2}
10^x = 10^3/2
x = 3/2

գ) log₅25³√5
5^x = 5^{2 3}√5
5x = 5² * 5^1/3
x = 2 + 1/3 = 6 + 1/3 = 7/3

57. ա) 5^2log₅12
2log₅12 = log₅12² = 144

բ) 8^4log₈3
4log₈3 =log₈3⁴ = 81

գ) 7^0,5log₇16
0,5log₇16 = log₇16^0,5 = √16 = 4

դ) 9^log₃8 = 3^2log₃8
log₃8² = 64

59. ա) 8^x = 5
x = log₈5

60. ա) log₆x = 1
x = 6¹

Թեմա՝ ցուցչային անհավասարումներ

Կարդալ՝ այստեղ
Էջ՝ 16-18. կատարել հետևյալ առաջադրանքները՝ 41-50

ա) 2x < 16
2^x < 2⁴
x < 4
x ∈ (-∞ ; 4)

բ) 5^x >/ 0,2
0,2 = 1/5
x >/ -1
x ∈ (-1 ; -∞)

գ) (0,2)^x < 125
5^-x < 5³
x∈ (-3 ; -∞)

գ) (√3/9)^x+2 </ 27

(3^0,5/3²)^x+2 </ 3³
(3^-1,5)^x+2 </ 3³
3^-1,5x-3 </ 3³
1,5x — 3 </ 3

ա) 3^2x — 80 * 3^x — 81 = 0

3^2x = (3^x)2
(3^x)2 — 80 * 3^x — 81 = 0
3^x = t
t² — 80t — 81 = 0
(80t)² — 4 * (-81)
D = 6400 + 324 = 6724
√6724 = 82
t₁ = -b + √D/ 2a = 80 + 82/2 = 81
t₂ = -b — √D/ 2a = 80 — 82/2 = -1 O
3^x = 81⁴

բ) 49^x — 6 * 7^x — 7 = 0
49^x = (7^x)²
(7^x)² — 6 * 7^x — 7 = 0
7^x = t
t² — 6 * t — 7 = 0
t² — 6t — 7 = 0
D = 36 — 4*(-7) = 64
t₁ = -b + √D/ 2a = 6 + 8/2 = 7
t² = -b — √D/ 2a = 6 — 8/2 = -1 O
7^x = 7
x = 1

Ցուցչային հավասարման բանաձև՝

a^x = b b </ 0 = > ◯
2^x = 32
2^x = 2⁵
x = 5

Առաջադրանքներ՝

դ) (1/4)^x = 16
1/4 = 4^-1
(4 — 1)^x = 4²
4^-x = 4²
-x = 2
x = -2

ա) 3^x+2 = 81
3^x+2 = 3⁴
x + 2 = 4
x = 4 — 2 = 2

գ) (√3)^{x — 5} = 27
(√3)^{x — 5} = 3³
(3^1/2)^{x — 5} = 3³
1/2 * x — 5 = x-5/2
3^{x — 5/2} = 3³
x — 5/2 = 3/1
x — 5 = 6
x = 6 + 5 = 11

զ) (0,125)^3-x = 2√2
2√2 = 2¹ * 2^1/2 = 2^{1 + 1/2} = 2^3/2
125/1000 = 1/8 = 1/2³ = 2^-3
(2^-3)^3-x = 2^3/2
-3 * 3 — x = -9 + 3x
-9 + 3x = 3/2
3x = 3/2 + 9 = 3 + 18/2 = 21/2
x = 21/2 * 3 = 21/6 = 7/2

ա) 6^3x+2 = 6^{2x + 7}
3x + 2 = 2x + 7
3x — 2x = 7 — 2
x = 5

բ) 5^4x+1 = (0,2)^x-6
0,2 = 2/10 = 1/5 = 5^-1
5^4x+1 = (5^-1)^x-6
-1 * (x — 6) = -x + 6
4x + 1 = -x + 6
5x = 5
x = 1

Բանաձև՝

Sn = b₁(1 — qⁿ)/1 — q — ընդհանուր
S_∞ = b₁/1 — q

Առաջադրանքներ`

S_∞ = 2/1 — q
q = b₂/b₁ = 1/2 = 0,5
S_∞ = 2/1 — 0,5 = 4

S_∞ = 3/1 — q
q = b₂/b₁ = 1/3
S_∞ = 3/1 — 1/3 = 3/2/3 = 9/2

S_∞ = 4/1 — q
q = b₂/b₁ = 1/4 = 0,25
S_∞ = 4/1 — 0,25 = 5,ɑ

S_∞ = 5/1 — q
q = b₂/b₁ = 1/5 = 0,2
S_∞ = 5/1 — 0,2 = 6,25

S_∞ = 6/1 — q
q = b₂/b₁ = 1/6
S_∞ = 6/1 — 1/6 = 6/5/6 = 36/5

q = b₃/b₂ = 16/8 = 2
b₂ = b¹ * q
8 = b₁ * 2
8/2 = b₁
b₁ = 4

q = b₃/b₂ = 9/3 = 3
b₂ = b¹ * q
3 = b¹ * 3
3/3 = b₁
b₁ = 1

q = b₃/b₂ = 8/4 = 2
b₂ = b¹ * q
4 = b¹ * 2
4/2 = b¹
2 = b¹

q = b₃/b₂ = 15/5 = 3
b₂ = b¹ * q
5= b¹ * 3
5/3 = b¹

q = b₃/b₂ = 18/6 = 3
b₂ = b¹ * q
6 = b₁ * 3
6/3 = b₁
b₁ = 2

b₁ * 10 = 80

Երկրաչափական պրոգրեսիայի բանաձև՝

2, 4, 6, 8, 16…

q = b₂/b₁ = 4/2 = 2
b₂ = ⩲√b₁ * b₃
b_n = q * b₁^(n-1)
b₅ = 2 * 2⁴ = 2 * 16 = 32

2. b₂ = ⩲√b₁ * b₃
x = √1 * 9 = √9 = 3

4. b₂ = ⩲√b₁ * b₃
x = √1 * 4 = √4 = 2

6. b₂ = ⩲√b₁ * b₃
x = √2 * 8 = √16 = 8

8. b₂ = ⩲√b₁ * b₃
x = √3 * 27 = √81 = 9

10. b₂ = ⩲√b₁ * b₃
x = √4 * 64 = √256 = 16

102. b₅ = 7
b₁ * b₉ = ?

b5 = b₁ * q⁴
b1 * b9 = b₁ * b₁ * q⁸ = b₁² * q⁸ = (b₁ * q⁴) ² = 7² = 49

104. b₄ = 6
b₁ * b₇ = ?

b4 = b₁ * q³
b₁ * b₇ = b₁ * b₁ * q⁶ = b₁² * q⁶ = (b₁ * q³)² = 6² = 36

106. b₃ = 7
b₁ * b₅ = ?
b₃ = b₁ * q²
b₁ * b₅ = b₁ * b₁ * q⁴ = b₁² * q⁴ = (b₁ * q²)² = 7² = 49

114. q = 4/-4 = -1
b₂ = b₁ * q
-4 = b₁ * (-1)
b₁ = 1 * 4 = 4

93. 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96

D = 8
an = a1 + (n-1) * d
16 + (n-1)8 = 96
n — 118 = 96 — 16
8n — 8 = 80
8n = 88
n = 11

S_n = a1 + an/2 * n
S₁₁ = 16 + 96/2 * 11 = 616

95. 14, 21, 28….98
D = 7

an = a₁ + (n-1) * d
an = 14 + (n-1) * 7
7n — 7 + 14 = 98
7n = 91
n = 91/7 = 13
S_n = a1 + an/2 * n
S₁₃ = 14 + 18/2 * 13 = 728

97. 12, 18, 24….96
D = 6

an = a₁ + (n-1) * d
an = 12 + (n-1) * 6 = 96
6n — 6 + 12 = 96
6n = 90
n = 90/6 = 15
S_n = a1 + an/2 * n
S₁₅ = a₁₂ + 12/2 * 15 = 810

99. D = 5
10, 15, 20…95
an = 10 + (n-1) * 5 = 95
5n — 5 + 10 = 95
5n = 90
n = 90/5 = 18
S_n = a₁ + a_n/2 * n
S₁₈ = 10 + 18/2 * 18 = 945

101. 22, 18
d = a2 — a1 = -4
an > 22 + (n-1) * -4
an > 22 — 4n + 4
26 > 4n
n < 26/4 = 6

103. 27,24…
d = a2 — a1 = -3
an > 27 + (n-1) * -3
an >27 -3n + 3
27 -3n + 3 > 0
30 > 3n
n > 10

Բանաձև՝ S_n = 2a₁ + (n-1) * d / 2 * n
կամ Sn = a₁+ an /2 * n

43. S₆ = a₁ + a₆/2 * n = -3+17/2 * 6 = 42
a₆ = a₁ + (6-1)d = -3 + 5d = -3 + 20 = 17
d = a₂ — a₁ = 1-(-3) = 4

45. S₈ = a₁ + a₈/2 * n = 2 + 23/2 * 8 = 100
a₈ = 2 + (8 — 1) * d = 2 + 7d = 2 + 21 = 23
d = a₂ — a₁ = 5 — 2 = 3

47. S10 = a₁ + a₁₀/2 * n = -2 + 34/2 * 10 = 160
a₁₀ = -2 + (10-1) * d = -2 + 9d = -2 + 36 = 34
d = a₂ — a₁ = 2 — (-2) = 4

Բանաձև՝ S_n ; an > 0

73. d = 15,5 — 17 = -1,5
an = a₁ + (n-1) * d > 0
17 + (n-1)(-1,5) > 0
17 — 1,5n + 1,5 > 0
-1,5n > -18,5
n < 18,5/1,5
n < 12,ɑ
a₁…..a₁₂ > 0
S₁₂ ; a12 > 0

21. a4 — a2 = 8

a4 = a1 + (4 — 1)d = a1 + 3d

a2 = a1 + (2 — 1)d = a1 + d

a1 + 3d — (a1 + d) = 8

a1 + 3d — a1 — d = 8

2d = 8

d = 4

23. a5 — a2 = 24

a5 = a1 + (5 — 1)d = a1 + 4d

a2 = a1 + (2 — 1)d = a1 + d

a1 + 4d — (a1 + d) = 24

a1 + 4d — a1 — d = 24

3d = 24

d = 8

25. a6 — a4 = -8

a6 = a1 + (6 — 1)d = a1 + 5d

a4 = a1 + (4 — 1)d = a1 + 3d

a1 + 5d — (a1 + 3d) = -8

a1 + 5d — a1 — 3d = -8

2d = -8

d = -4

27. a8 — a5 = 27

a8 = a1 + (8 — 1)d = a1 + 7d

a5 = a1 + (5 — 1)d = a1 + 4d

a1 + 7d — (a1 + 4d) = 27

a1 + 7d — a1 — 4d = 27

3d = 27

d = 9

29. a2 — a6 = 8

a2 = a1 + (2 — 1)d = a1 + d

a6 = a1 + (6 — 1)d = a1 + 5d

a1 + d — (a1 + 5d) = 8

a1 + d — a1 — 5d = 8

-4d = 8

d = -2

31. a4 + a6 = 10   a5=?

a5 = 10/2 = 5

33. a6 + a8 = 8  a7 = ?

a7 = 8/2 = 4