Թվաբանական պրոգրեսիա

Բանաձև՝ an = a1 + (n-1) * d

a5 = -2 + (5-1) * d

d = a2 — a1 = 4-(-2) ‎ = 6

a5 = 22

a2 = -3 + (6-1) * d

d = a2 — a1 = 1-(-3) ‎ = 4

a2 = 11

a4 = -1 + (4-1) * d

d = a2 — a1 = 3 — (-1) ‎ = 4

a4 = 11

7.a7 = 2 + (7-1) * d

d = a2 — a1 = 6 — 2 ‎ = 4

a7 = 26

a8 = 3 + (8-1) * d

d = a2 — a1 = 8 — 3 ‎ = 5

a8 = 38

11.a2 = a1 + (2-1)d = a1+d

a5 = a1 + (5-1)d = a1+ 4d

{a1 + d = 2  

{a1 + 4d = 11  

-3d = -9

d = -9/-3 = 3

13.a2 = a1 + (2-1)d = a1+d

a5 = a1 + (5-1)d = a1+ 4d

{a1+d = 6

{a1+4d = 18

-3d = -12

d = -12/-3 = 4

15.a3=a1 + (3-1)d = a1+2d

a5 = a1 + (5-1)d = a1+4d

{a1+2d = 4

{a1+4d = 14

-2d= -10

d = 5

71. 2x² — 7x + 5 ≤ 0
(x — a)(x — b) ≤ 0
2x² — 7x + 5 = 0
D = b² — 4ac = 49 — 4 * 2 * 5 = 9
x₁ = -b — √D / 2a = 7 — 3 / 4 = 1
x₂ = -b + √D / 2a = 7 + 3 / 4 = 5/2
(x — 1)(x — 4) ≤ 0
x ∈ [1; 5/2]

72. 5x² + 7x + 2 < 0
(x — a)(x — b) < 0
5x² + 7x + 2 = 0
D = b² — 4ac = 49 — 4 * 5 * 2 = 9
x₁ = -b — √D / 2a = -7 — 3 / 10 = -1
x₂ = -b + √D / 2a = -7 + 3 / 10 = -2/5
(x + 1)(x + 2/5) < 0
x ∈ (-1; -2/5)

73. x² + 2x + 15 > 0
(x — a)(x — b) > 0
x² + 2x + 15 = 0
D = b² — 4ac = 4 — 4 * 1 * 15 = -56
x ∈ ∅
Լուծում չունի

74. x² + x + 2 > 0
(x — a)(x — b) > 0
x² + x + 2 = 0
D = b² — 4ac = 1 — 4 * 1 * 2 = -7
x ∈ ∅
Լուծում չունի

75. 2x² + 2x + 5 ≥ 0
(x — a)(x — b) ≥ 0
2x² + 2x + 5 = 0
D = b² — 4ac = 4 — 4 * 2 * 5 = -36
x ∈ ∅
Լուծում չունի

Անհավասարման օրինակ՝

x/4 — x/5 > 6
5x — 4x/20 > 6
x/20 > 6/1
x > 120
x∈(120 ; +∞)

41. x/3 — x/9 < 12
6x — 2x/18 < 12
4x/18 < 12/1
4x < 216
x < 54
x∈(-∞ ; 54]

42. -x/3 + x/12 > 3
-4x + x/12 > 3
-3x/12 > 3/1
-3x > 36
x < -12
x∈(-∞ ; -12]

43. -2x/2 — x > 2/5
-2x — 3x/3 > 2/5
-5x/3 > 2/5
-25x > 6
x > -6/25
x∈ (-6/25 ; +∞)

44. 3x/5 — 2/3 </ x/15
3x/5 — x/15 </ 2/3
9x — x/15 </ 2/3
8x/15 </ 2/3
24x </ 30
x </ 30/24 = 5/4
x∈(-∞ ; 5/4]

45. 2/3 — 5x/6 >/ x/12
-x/12 — 5x/6 >/ -2/3
-x — 10x/12 >/ -2/3
-11x/12 >/ -2/3
-33x >/ -24
x >/ -24/33 = 8/11
x∈(-∞ ; 8/11]

46. x — 5/2 > 5
x — 5/2 > 5
x — 5 > 10
x > 10 + 5
x∈(15 ; +∞)

47. x + 2/4 </ 5
x + 2 </ 20
x </ 20 — 2
x∈(-∞ ; 18]

48. 3x — 2/4 >/ 4
3x — 2 >/ 16
3x >/ 16 + 2
3x >/ 18
x >/ 18/3
x∈(6 ; +∞)

49. 5x — 5/4 < -2
5x — 5 < -8
5x < -8 + 5
5x < -3
x < -3/5
x∈(-∞ ; -3/5)

Անհավասարումների օրինակ՝
1. 2x + 6 > 8
2x > 8 — 6
2x > 2
x > 1
x∈ (1 ; +∞)

2. -3x + 6 >/ -5
-3x > — 11
x </ -11/3
x </ 11/3
(բացասական թվի դեպքում նշանը փոխվում է)
x∈ (-∞ ; 11/3]

1. 2x — 4 > 6
   2x > 6 + 4
   2x > 10
   x > 10/2
   x > 5
   x∈ (5 ; +∞)
2. 4x + 2 > 0
   4x > -2
   x > -2/4
   x > -1/2
   x∈ (-1/2 ; +∞)
3. 5x — 2 < 8
   5x < 8 + 2
   5x < 10
   x < 10/5
   x < 2
   x∈ (-∞ ; 2)
4. 4x — 10 > 2
   4x > 2 + 10
   4x > 12
   x > 12/4
   x > 3
   x∈ (3 ; +∞)
5. 2x + 3 </ 1
   2x </ 1 — 3
   2x </ -2
   x </ -2/2
   x </ -1
   x∈ (-∞ ; -1]
6. 8x — 8 >/ 8
   8x >/ 8 + 8
   8x >/ 16
   x >/ 16/8
   x >/ 2
   x∈ [2 ; +∞)

11. 25x — 50 </ 25
25x </ 25 + 50
25x </ 75
x </ 75/25
x </ 3
x∈ (-∞ ; 3]

12. 12x — 12 > 24
12x > 24 + 12
12x > 36
x > 36/12
x > 3
x∈ (3; +∞)

13. 4(x — 2) > 2 (x+2)
4x — 8 > 2x + 4
4x — 2x > 4 + 8
2x > 12
x > 12/2
x > 6
x∈ (6 ; +∞)

14. 5(x — 5) > 3 (x — 2)
5x — 25 > 3x — 6
5x — 3x > -6 + 25
2x > 19
x > 19/2
x > 9,5
x∈ (9,5 ; +∞)

15. 7 (x — 8) < 5 (x + 4)
7x — 56 < 5x + 20
7x — 5x < 20 + 56
2x < 76
x < 76/2
x < 38
x∈ (-∞ ; 38)

16. 8 (x-8) </ 6 (x — 5)
8x — 64 </ 6x — 30
8x — 6x </ -64 + 30

2x </ -34
x </ -34/2
x </ -17
x∈ (-∞ ; -17]

Թեմա՝ գլուխկոտրուկներ
Լրացնել խաչբառը։

• Քանի՞ եռանկյուն է պատկերված նկարում։
  Պատ․՝ 16

• Ո՞ր գնդակը պետք է պատկերված լինի դատարկ տեղում։
  Պատ․՝ կապույտ

• Տրված 9 կետերը միացնել 4 ուղղով առանց ձեռքը թղթից կտրելու։

• Ո՞ր գույնի եռանկյունը պետք է հանել, որպեսզի  եռանկյունները առանձնանան։
  Պատ․՝ կապույտ

• Նկարում պատկերված են 3 թռչող նետեր և 9 անշարժ փուչիկներ։ Երբ նետև դիպչում է փուչկիկին փուչիկը պայթում է, իսկ նետը շարունակում է թռչել նույն ուղղությամբ։ Քանի՞ փուչիկի նետը չի դիպչել։
  Պատ․՝ 3

• 18 լուցկիներից 2–ը տեղափոխեք այնպես, որ լուցկու հատիկները 8 եռանկյան փոխարեն 6 եռանկյուն կազմեն։ Անհրաժեշտ է ստանալ միայն եռանկյուն պատկերներ՝ առանց ազատ «կախված» լուցկու հատիկի։

Կոտորակ՝ m/n ; n = 0
Կանոնավոր կոտորակ է՝ m<n
Անկանոն կոտորակ է ՝ m > n

Ըստ բանաձևի՝ x₁ = -b + √D/2a
x₂ = -b — √D/2a

{x² + 4x — 5 =0 = > x₁ = 1 x₂  = -5
{x — 1 = 0 = > x = 1

x² + 4x — 5
D = b² — 4ac = 16 — 4 * 1 * (-5) = 36
x₁ = -4 — 6/2 = 1
x₂ = -4 + 6/2 = -5

Պատ․՝ x  = -5

{x² + 3x — 28 = 0 = > x₁ = 4 x₂ = -7
{x + 7 = 0 = > x ₌ -7
D = b² — 4ac = 9 — 4 * 1 * (-28) = 121
x₁ = -3 + 11/2 = 4
x₂ = -3 — 11/2 = -7

Պատ․՝ x = 4

{x2 + 6x — 7 = 0 = > x₁ = 1 x₂ = -7
{x — 1 = 0 = > x = 1
D = b² — 4ac = 16 — 4 * 1 * (-7) = 64
x₁ = -6 + 8/2 = 1
x₂ = -6 — 8/2 = -7

Պատ․՝ x = -7

{x² — 7x + 6 = 0 = > x₁ = 6 x₂ = 1
{x — 1 = 0 = > x = 1
D = b² — 4ac = 49 — 4 * 1 * 6 = 25
x₁ = 7 + 5/2 = 6
x₂ = 7 — 5/2 = 1

Պատ․՝ x = 6

{x² — 4 = 0 = > x² = 4 = > {x₁ = 2 x₂ = -2 = > x = 2
{x + 2 = 0 = > x = -2 = > {x = -2
Պատ․՝ x = 2

{x² — 9 = 0 = > {x² = 9 = > {x₁ = 3 x₂ = -3
{x + 3 = 0 = > {x = -3 = > {x = -3
Պատ․ x = 3

{x² — 25 = 0 = > {x² = 25 = > {x₁ = 5 x₂ = -5
{x — 5 = 0 = > {x = 5 = {x = 5
Պատ․՝ x = -5

x² — 9/x — 3 = 6/1

x² — 9 = 6 (x — 3)
x² — 9 = 6x — 18
x² — 6x — 9 + 18 = 0
x² — 6x + 9 = 0
D = b² — 4ac = 36 — 4 * 1 * 9 = 0
x = -6/2 = 3
Պատ․՝ x = 3

ax² + bx + c = 0
D = b²-4ac
D >/ 0 => 2 արմատ
D = 0 => x₁ = x₂
D < 0 => արմատ չունի

x₁ = b + √D/2a
x₂ = -b — √D/2a

Առաջադրանքներ՝ 75, 86 և 94

75․ x² — 4x — 5 = 0
D = 16 — 4 * (-5) = 36
x₁ = 4 + √36/2 = 5
x₂ = -4 + √36/2 = -1
Պատ․՝ 5 ; -1

86․ x² — 6x + 9 =0
D = 36 — 4 * 1 * 9 = 0
x₁ = -6/2 = 3
x₂ = 6/2 = 3
Պատ․՝ 3

94․ x² + 3x + 10 = 0
D = 9 — 4 * 1 * 10 = -31
Եթե 0-ն փոքր է D-ից, ապա արմատ չունի

6. 6(x+2)= -18
6x + 12 = -18
6x = -18-12
6x = -30
x = -5

9. 7(x-5) = -5
7x — 35 = -5
7x = -5+35 = 30
x = 30/7

10. 5(x-5) = 4
5x — 25 = 4
5x = 4-25 = -21
x = 21/5

32. 6(x+3)-5 = 4(x-4)-4
6x + 18 — 5 = 4x — 16 — 4
6x-4x = -16 — 4 — 18 + 5 =
2x = -33
x = -16,5

38. 6(x-2) — 6 (x-1) = -6
6x — 12 — 6x + 6 = -6
6x-6x = -6 + 12 — 6
x  ∈ R

24.2. ⁵√4² * √4 = ⁵√(2²)² * 2 = ⁵√2⁴ * 2¹ = ⁵√2⁴⁺¹ = ⁵√2⁵ = 2^5/5 = 2

25.2. (∛4 — ∛10 + ∛25)(∛2 + ∛5) = (∛2)³ + (∛5)³ = (2^1/3)³ + (5^1/3)³ = 2 + 5 = 7

26.2. (√20 + √80) : √5 = 6√5 : √5 = 6

27.2. a² + a^-2 a + a^-1 = 5
a² + 2 * a * a^-1 + a^-2 = 25
a¹ * a^-1 = a^1-1 = a⁰ = 1
a² + a^-2 + 2 = 25
a³ + a^-2 = 25 — 2 = 23

5.2. ∜a⁴*a^0,25 / √a + a⁴ — √a a = √6
a^3/4 * a^1/4 / a^1/2 + a⁴ — √a = a/a^1/2 + a⁴ -√a = a^1/2 + a⁴ — a^1/2 = a⁴ = (√6)⁴ = (6^1/2)⁴ = 6^1/2*4 = 6² = 36

7.2. (a⁴)^1/3/a — 3a^1/3 = a^4*1/3/a — 3a^1/3 = a^4/3/a — 3a^1/3 = a^1/3 — 3a^1/3 = -2a^1/3

8.2. (a^0,1)¹⁰/a — 3a^1/3 * a^2/3 = a^10*0,1/a — 3a^1/3 * a^2/3 = a/a — 3a^1/3 * a^2/3 = 1 — 3a^1/3 * a^2/3 = 1 — 3a^1/3+2/3 = 1 — 3a

9.2. 8^-1/3 * 64^1/2 = 8^-1/3 * (8²)^1/2 = 8^-1/3 * 8 = 8^2/3 = (2³)^2/3 = 2^3*2/3 = 2² = 4

10.2. √∛2⁴ * ⁶√4 = √2^4/3 * ⁶√2² = 2^4/3:2 * 2^2/6 = 2^4/3*1/2 * 2^2/6 = 2^4/6 * 2^2/6 = 2^4/6+2/6 = 2

11.3. (3^√2)^√2 + 3⁰ = 3² + 3⁰ = 9 + 1 = 10

12.2. ∛-4√4 = ∛-4¹ * 4^1/2 = ∛-4 * 2¹ = √-(2)² * 2¹ = -∛2³ = -2^3/3 = -2